文章摘要
英国数学家蒂莫西·高尔斯发现，AI处理数学猜想时热衷找反例，如在雅可比猜想、埃尔德什单位距离猜想等问题中都如此。这是因AI知识储备广、试错成本低。高尔斯还梳理了人类找反例的方法，目前AI虽擅广度优先搜索，但在判断路径价值上有不足，他为AI进入顶级数学创造设了新标准。

当把一道数学猜想交给AI时，它最先尝试的往往不是推导严谨的证明，而是寻找可以推翻结论的反例——这一带着“反骨”特质的观察，出自1998年菲尔兹奖得主、英国数学家蒂莫西·高尔斯。

近期高尔斯梳理了近几个月来AI在数学领域的突破性进展，发现了一个极具统一性的研究倾向：几乎所有引发广泛关注的成果，都围绕着寻找反例或构造特殊数学对象展开。

具体来看，在雅可比猜想的研究中，AI将核心精力放在寻找反例上；针对埃尔德什单位距离猜想，突破思路同样聚焦于构造反例；在非sofic群问题上，AI的工作是构建出此前从未被发现的特殊群结构；而多色拉姆齐数问题的最新进展，核心依然是构造满足特定要求的组合对象。

当人类数学家还在反复琢磨“这个结论为什么成立”时，AI往往会先抛出一个直击本质的疑问：“这个结论真的成立吗？”

那么，为什么AI在处理数学猜想时，会如此执着于寻找反例呢？

首先需要澄清一个容易混淆的概念：高尔斯所说的“找反例”，和中学阶段学习的反证法并不相同。反证法是一种正向证明技巧，通过先假设结论不成立，再推导出逻辑矛盾，从而反向证明原命题正确；而寻找反例则更加直接：如果一个猜想提出“所有满足条件A的对象都具有性质B”，那么只需要找到一个满足A但不满足B的具体对象，就能直接推翻整个猜想。

这一模式在近期的多个AI数学突破中得到了充分验证。以OpenAI内部模型解决埃尔德什单位距离问题为例，近80年来，数学界围绕该问题形成了一个被广泛认可的增长判断，绝大多数后续研究都朝着证明这一判断的方向推进。但AI并没有跟随人类数十年的研究路径，反而投入大量算力尝试另一种完全不同的思路：是否可以为这个判断找到反例？

最终AI成功实现了突破：它将原本属于代数数论领域的工具引入离散几何，通过构建复杂的数域生成了一整套点集，让单位距离对的数量以超出此前预期的速度增长，直接推翻了流传数十年的主流判断。后续数学家回溯AI的推理过程发现，它的绝大多数算力都用在了尝试不同构造、寻找反例上。

这一案例之后不久，数学家莱文特·阿尔佩格借助Claude找到了雅可比猜想相关问题的反例，再次印证了这一模式。这类成果的反差感在于，AI并不需要展开冗长的正向证明，只需要找到那个特殊的对象，逐一验证它满足猜想的前提条件，却不满足结论，就能直接宣告猜想失效。

高尔斯在梳理OpenAI近期公布的10项数学成果时，也发现了类似的研究逻辑：比如长期悬而未决的“所有群都是sofic群吗？”这一问题，AI的突破点就是直接构造出了一个非sofic群；而多色拉姆齐数的进展虽然最终呈现为严格的下界证明，但整个突破过程依然高度依赖构造——只有先找到足够特殊、足够刁钻的组合对象，后续的证明才能找到落脚之处。

由此可以总结出一个清晰的规律：当前AI最容易取得突破性进展的数学问题，大多可以被简化为一句对机器非常友好的提问：“是否存在这样一个对象？”如果答案是肯定的，那么AI的优势就能充分发挥：通过海量搜索、跨领域调用工具、重组现有技巧、反复尝试构造，从人类根本无法穷举的庞大数学对象空间中，找到那个一直未被发现的特殊对象。因此，AI真正擅长的并非单纯的反证，而是在高维搜索空间中定位特定目标的任务。

那么，为什么AI会如此热衷于寻找反例呢？高尔斯给出了两个非常直观的核心优势。

第一，AI拥有更广泛的知识储备。如果一个问题的突破口藏在某个冷门的数学工具、跨领域的技巧组合中，大模型可以直接从训练数据中调取相关知识，而不需要像人类研究者那样需要同时精通多个领域才能实现跨学科结合。比如埃尔德什单位距离问题原本属于离散几何和组合数学，但AI却借用了代数数论的工具，这种跨领域的组合对于人类来说往往需要研究者同时掌握两个领域的知识，而对于大模型来说，两个领域的知识都已经包含在训练数据中，组合的成本极低。

第二，AI的试错成本极低。OpenAI近期的10项数学与理论计算机科学成果中，用于寻找反例的全部Token成本折算下来仅数千美元，这意味着很多对人类数学家来说成功率极低、不值得耗费数月时间尝试的路线，AI可以毫无顾虑地反复尝试。

高尔斯还梳理了人类数学家寻找反例的几种常见方法：第一种是使用经典的测试对象逐一验证，比如针对布尔函数的猜想，研究者会先用独裁函数、多数函数、奇偶函数、tribes函数等经典样本进行测试；第二种是拼装法，从基础对象出发，通过取积、取商、取极限或调整构造方式，尝试得到符合要求的性质；第三种是随机法，当显式构造难度过大时，从特定分布中随机选取对象，证明其大概率满足条件；第四种是逐步逼近法，先给出一个初步的候选答案，通过观察它的缺陷不断修正，逐步逼近目标。

这些大量尝试构造、随机搜索、调整方案的玩法，都非常契合大模型的优势：庞大的知识库、快速的推理能力和极低的试错成本，让AI可以通过海量尝试直接撞出答案。但随着研究深入，会发现越到后期，越需要一种难以被公式化的能力——在搜索的早期阶段，快速判断哪些路径更有价值，砍掉绝大多数无效的分支，只保留最值得投入的方向。高尔斯将这种能力称为数学家的“鼻子”。

一个真正顶尖的研究者，并非永远不会走弯路，而是能在搜索树刚刚长出分叉时，迅速砍掉99%的无效路径，只保留最有潜力的少数方向。而目前的AI在这方面还有明显的不足：比如高尔斯在和AI讨论开放问题时，经常会遇到一种尴尬的情况——AI会提出看起来很有前景的方案，但仔细推敲后却并不靠谱，而且AI常常会说“虽然没有解决原题，但我将问题缩小为了一个更精确的子问题”。第一次听到这种结果时会感到兴奋，但如果连续五次都停留在不同版本的子问题缩小上，人类研究者难免会怀疑：这到底是在逐步逼近答案，还是只是把迷路的过程描述得越来越优雅？

这也是高尔斯没有将AI神化的原因：他并不认为人类会永远保有这项优势，反而预测大模型会快速进步，甚至在一两年内就能拥有更强的“鼻子”。但就目前而言，AI的强项依然是广度优先的搜索：广泛调用已有知识、探索所有可能的路径，通过海量尝试找到解法。

最后，高尔斯为AI真正进入顶级数学创造阶段设定了一个浪漫的验收标准：当AI不仅能解出一道数学题，还能提出一种从未被使用过的全新方法，而且这种方法回头来看非常自然，甚至能被其他数学家用来拓展出一系列新的研究成果时，AI在数学界的身份才会真正发生改变。

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