大模型在数学领域的优势与局限：从剪枝到自然摩擦力

人工智能刚刚破解了一道困扰数学界80年的经典难题：埃尔德什平面单位距离猜想——不过并非以传统的证明方式，而是找到了该猜想的反例。

今年五月的一个午后，这条消息首次传到菲尔兹奖得主蒂莫西·高尔斯耳中时，他第一反应以为人工智能已经拿出了严谨的正式证明。如果真是这样，那或许意味着数学家的工作即将被彻底取代。他花了一整夜的时间，重新梳理自己对数学研究的认知。

但第二天清晨，一封澄清邮件让他松了口气——人工智能并没有完成证明，而是找到了推翻该猜想的反例。高尔斯反而感到释然。为何人工智能找到反例的结果，反而比证明一条定理更让高尔斯感到安心？8月12日，高尔斯在个人博客上发表的长文给出了答案。

故事要从8月1日说起。当天，OpenAI一口气公布了十项数学与理论计算机科学领域的突破性成果，官方称每一项都解决了长期悬而未决的问题，或是在相关方向取得了实质性进展。这些成果来自OpenAI尚未公开的内部模型Astra。

那几天，全球数学社群的讨论几乎只有一个声音：这一次，人工智能真的改变了数学研究的格局。正如学者西蒙·威利斯所言，线上的数学家群体正集体经历类似当年深蓝击败国际象棋大师的震撼时刻。更早之前，数学家柯文·汉普斯顿就曾发表《数学的黑暗之夜》一文，当时仅针对此前人工智能在数学领域的初步成果，他就坦言自己陷入了深刻的精神危机。

高尔斯在认可这十项成果的突破性之余，也抛出了一个关键问题：如果大语言模型已经在所有数学领域超越人类，凭借其远超人类的计算速度，研究成果本该如潮水般涌现，但为何实际情况并非如此？

在OpenAI公布成果后的11天里，arXiv平台上接连出现了两篇跟进研究论文。8月3日，剑桥大学的群论学者弗朗西斯科·富尼耶-法西奥率先上传了一篇论文，他借鉴了OpenAI成果中的核心判据，绕过了原方法中使用的Leavitt代数，构建出了原方法无法实现的新结构：一个无挠非sofic群。8月11日，拉斐尔·施泰纳则对OpenAI提出的多色拉姆齐数递归构造方法进行了优化，将其推广到所有固定奇圈的场景中。

学者能够基于Astra的成果继续开展研究并发表论文，足以证明该模型提供的是一套具有延展性的研究方法。富尼耶-法西奥在论文中指出，Kun-Thom相关结论可以延伸的方向多达无数种，但其中绝大多数要么无法成立，要么即便成立也缺乏实际应用价值。而OpenAI选中的这条研究路径，即便对熟悉该领域的专家而言，多数也能独立完成证明，真正的难点在于在海量可能性中想到去尝试这条路径。富尼耶-法西奥在论文中判断，OpenAI的突破性不在于证明技巧本身，而在于率先提出了该研究命题。他用一个形象的比喻解释道：人工智能不受时间与资源的限制，可以像反复向墙面投掷物品一样，不断尝试不同的研究路径，直到找到能够成立的结论。

反例与定理并非两种独立能力

在多数数学家的直觉中，寻找反例更像是靠运气的工作：只要构造出一个特例，就能推翻整个猜想；而证明定理则需要扎实的功底，需要确保没有任何例外，还要依赖长期思考后的灵光乍现。按照这种直觉，人工智能擅长寻找反例尚且可以理解，但如果它能证明定理，那才真正意味着数学研究格局的彻底改变。

但高尔斯指出，这种划分边界其实并不成立，寻找反例与证明定理并非两种完全独立的能力。他首先承认，目前人工智能最具分量的成果确实集中在寻找反例方向，比如埃尔德什平面单位距离猜想、雅可比猜想、非sofic群以及多色拉姆齐数的相关研究。不过大语言模型同样能够证明难度较高的普遍性命题，只是目前这类成果的影响力尚未达到反例研究的级别。

为此，他举了两个经典案例：1937年维诺格拉多夫证明了充分大的整数可以表示为三个素数之和；1981年格卢斯金证明了在任意维度下，都存在两个形状差异极大的空间。如果把这两个结论用数学论文的标准格式表达，二者的结构几乎完全一致，但没人会认为维诺格拉多夫找到了反例，也没人会说格卢斯金只是构造了一个例子。二者的核心区别在于，研究的难点落在了不同的环节。

维诺格拉多夫的研究难点在于让三个素数恰好组合成目标整数；而格卢斯金的研究中，构造指定维度的空间并不困难，真正的挑战在于让两个空间的形状差异达到足够大的程度。相同的研究框架，只是难点位置不同，最终的成果就会被归为定理或是例子。

还有一层更微妙的心理因素：“反例”这个概念本身带有主观色彩。只有推翻了学界普遍认可的猜想，才能被称为真正的反例。比如非sofic群的相关研究就不算典型的反例：根据高尔斯和富尼耶-法西奥的说法，学界早就存在多种构造思路，原本就没有多少专家相信所有群都是sofic的，因此更准确的描述是OpenAI给出了首个非sofic群的具体实例。

而多色拉姆齐数的研究，高尔斯则更有发言权：他年轻时就研究过该问题的等价形式，当年投入大量精力的研究方向，正是后来被证明正确的路径，因此在他看来，这项成果只是符合预期的研究进展，而非推翻猜想的反例。同样的研究成果，在坚信原有猜想的学者眼中是反例，但在高尔斯这里却只是符合预期的进展。这足以说明，“反例”的边界并非由数学本身决定，而是取决于研究者的主观认知。

既然反例与定理并非泾渭分明的两类能力，那么人工智能在数学领域的强弱，就不能按照命题类型来划分。那应该按照什么标准来划分呢？

AI擅长四种搜索路径，而非所有研究方法

真正的分野不在于研究的命题类型，而在于研究者寻找答案的路径。高尔斯将数学家寻找研究实例的常规方法归纳为八种：逐一尝试已有的标准实例、用基础实例进行组合构造、先预留条件再逐步补充、通过反证法证明其不存在、基于已有猜测不断修正、按照条件逐步搭建结构、随机选取实例、选取足够通用的实例。

他判断，大语言模型在其中四种方法上会表现出色：逐一尝试已有实例、按条件逐步搭建结构、随机选取实例、选取通用实例。这四种方法的共同点在于套路成熟、训练数据中相关实例丰富、试错成本较低，大模型只要愿意逐一尝试，总能找到符合要求的结果。

而另外三种方法则截然不同：先预留条件再补充细节、通过反证法排除可能性、基于已有猜测不断修正，这三种方法都要求研究者在研究过程中反复做出判断：当前的研究路径是否值得继续投入精力。

高尔斯的解释其实很好理解。大语言模型拥有两个无可争议的优势：一是知识面覆盖几乎所有标准的数学论证方法，二是计算速度极快，可以在找到正确路径前进行无数次试错。这两个优势结合在一起，形成了与人类完全不同的研究风格：研究中运气成分越高，人工智能的优势就越明显。

而人类仍然能够保持优势的领域，则是那些分支极多、研究路径极深的复杂问题。数学家将这类问题称为“搜索树”：每向前一步，都会分出数十条甚至更多的分支，越往后分支越复杂，研究者不可能逐一尝试所有路径，必须在过程中判断哪些路径可以直接放弃，也就是所谓的“剪枝”。如果不进行合理的剪枝，即便拥有超强算力，也永远无法遍历所有可能的研究路径。

专家们的集体反应也印证了这一点。高尔斯注意到，学界的反馈高度一致：最初大家都对成果感到震惊，但仔细研究后发现，其中的方法并没有那么新颖，只要有合适的专家获得一点提示，原本也能找到类似的结论。这并非贬低人工智能的发现，而是更准确地勾勒出了它的优势：不在于比人类更聪明，而在于它“输得起”。面对同一个问题，人类可能只能尝试几条路径，但人工智能可以尝试数百条甚至更多。

为何大模型缺乏研究判断能力？

第一个原因在于，训练数据中根本没有相关的学习内容。公开发表的数学证明都是“干净的成品”：研究者尝试过的方向、在哪个环节遇到困难、为何放弃原有路径，这些细节都被省略了。大模型只能看到最终的结论，却无法学习到研究的完整过程。其实人类也没有专门的课程教授这种能力，数学家都是在自己卡壳、走错路、调整方向的过程中逐步掌握的，而大模型只能从他人整理好的成品研究中学习。

第二个原因则更反直觉：速度本身反而成了阻碍。人类必须进行高强度的剪枝，因为人的一生只能尝试有限的几条研究路径。而大模型拥有速度和广泛的知识面，可以承受人类完全无法承担的低效试错，既然不需要担心资源消耗，自然也就没有必须剪枝的动力。高尔斯直言，当前大模型的成功，或许正是使用了在人类看来极其低效的试错方法，只是目前的研究路径分支还没有多到让它无法承受。

第三个原因在于，这类研究很难通过实验验证：一个看起来需要长期深思的想法，也可能只是大模型从文献中调取了某位人类数学家的思考成果。高尔斯自己使用大模型的体验也被写进了这篇长文中。他在使用5.6 Pro版本的大模型讨论开放问题时，经常得到听起来有希望但仔细推敲后又站不住脚的方案，而且这类回复经常以“我没能回答你的问题，但将其转化为了一个更狭窄更精确的问题”作为结尾。连续五次这样的交互后，几乎看不到任何实质性的研究进展。

有趣的是，另一位菲尔兹奖得主也表达了类似的观点。7月24日，陶哲轩在国际数学家大会上发表了题为《人工智能时代的数学》的公开演讲。他吐槽道，人工智能生成的数学证明读起来非常痛苦：论证的轻重完全错位，可能会花费三页纸去证明一个显而易见的引理，却只用三行带过真正核心的研究步骤。

人类撰写的证明则完全不同：简单的步骤会一带而过，遇到难点时会停下来仔细梳理，尽量减少无用功，读者可以通过这种节奏判断出研究的难点所在。陶哲轩将这种人类写作中的节奏称为“自然摩擦力”，提醒读者在难点处放慢脚步。而人工智能生成的证明则会在所有步骤上都以相同的速度掠过，让读者无法分辨哪些是真正的难点。

他举了自己的亲身经历：在读研究生时，他曾硬啃布尔甘1991年的论文，页边还留着当年的批注：“我讨厌让·布尔甘”。但在硬啃下来之后，他反而理解了布尔甘的思维方式，后来甚至更偏爱阅读布尔甘的论文。他表示，如果那篇论文经过多层人工智能的润色，他可能无法获得这种理解研究者思维方式的训练。

“哪一步是难点”这类信息，在人类的数学写作传统中从未被正式记录过，因此大模型无法学习到这种判断能力。而人工智能生成的证明，又将这种仅存的痕迹彻底抹去了。这就形成了一个恶性循环：大模型无法学习到研究判断能力，而它们生成的内容又会让下一代模型更难学到这种能力。

高尔斯提出的解决方案，聚焦于大模型的奖励函数设计。在训练过程中，不能只在模型得出正确解时给予奖励，还需要对两种行为进行惩罚：在死胡同中浪费过多算力，以及直接从文献中调取现成答案。如果只奖励最终结果，那么模型只会产出没有完整研究过程的成果。这一观点不仅适用于模型训练，对整个数学研究界也同样适用。

如何才算真正跨越了门槛？

高尔斯给出了一个最难糊弄的衡量标准。他以2016年的cap-set问题为例。该问题的内容是：在三进制的高维方格中，最多可以选取多少个点，使得任意三个点都不会构成等差数列。几十年来，该问题的上限数值一直在被逐步压低。

2016年，一种全新的解法问世，将此前的最优上限大幅压低，而该方法的思路是高尔斯从未设想过的。但在事后回顾时，人们会发现这种方法其实本该如此，只是之前从未有人想到。随后，大批学者纷纷跟进，试图探究这套新技术还能应用在哪些其他研究中。一个真正具有突破性的研究方法，不仅能够解决当前的问题，还能让大批研究者迅速改变自己的研究方向。

直到人工智能能够独立产出同等影响力的研究成果，高尔斯才会认为人类已经真正跨越了这道门槛。